Géométrie analytique

Géométrie analytique

 

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La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les objets sont représentés par des équations ou des inéquations. Elle est fondamentale pour la physique et l’infographie.

 

En géométrie analytique, le choix d’un repère est indispensable. Tous les objets seront décrits relativement à ce repère, à l’aide de coordonnées.

 

 

Calculer la 2ème coordonnée d’un point appartenant à un cercle

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Equation d’un cercle de centre connu et passant par un point

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Vérifier par le calcul qu’un point appartient à un cercle

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Cercles: transformer l’équation cartésienne en réduite

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Calcul de l’angle entre deux droites avec la formule
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Les cercles et leurs équations
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géométrie analytique

histoire

Le terme de géométrie analytique, par opposition à la géométrie synthétique, se réfère aux méthodes d’analyse et synthèse pratiquées par les géomètres grecs. Elle en est progressivement venue à se confondre avec sa méthode privilégiée, la méthode des coordonnées.

Dans les mathématiques grecques, l’analyse consiste à partir de l’objet cherché, en supposant son existence, de manière à établir ses propriétés. Il faut poursuivre dans cette voie jusqu’à produire assez de propriétés pour caractériser l’objet. La situation peut être renversée en ne faisant plus l’hypothèse d’existence et en introduisant effectivement l’objet par le biais des propriétés caractéristiques : c’est la phase de synthèse, qui doit aboutir à la preuve d’existence.

La difficulté pratique qui a limité les progrès des géomètres est le manque d’un formalisme adapté à la description des relations entre grandeurs géométriques. François Viète, à la fin du XVIe siècle unifie le calcul sur les nombres et le calcul sur les grandeurs géométriques à travers un outil précieux, le calcul littéral. Le principe de la réduction au calcul algébrique est posé, il manque encore une méthode systématique pour l’exploiter.
Méthode des coordonnées

Marino Ghetadi, puis René Descartes proposent de résoudre les problèmes de géométrie par le recours systématique au calcul algébrique. Dans sa Géométrie de 1637, le philosophe en formule le principe. Il s’agit de représenter grandeurs connues et inconnues par des lettres, et de trouver autant de relations entre grandeurs connues et inconnues qu’il y a d’inconnues au problème. On y reconnaît bien une démarche analytique, conduisant à des systèmes d’équations qu’il s’agit de réduire à une seule équation. Descartes donne des interprétations des cas sur- ou sous-déterminés. Ses manipulations, cependant, se limitent aux équations algébriques, qu’il classe par degré, et ne peuvent être appliquées aux courbes qu’il qualifie de mécaniques (aujourd’hui dites transcendantes).

Pierre de Fermat est le premier à faire, à la même époque, un usage systématique des coordonnées proprement dites pour résoudre les problèmes de lieux géométriques. Il fait intervenir notamment les premières équations de droites, paraboles ou hyperboles. Il présente ces idées dans Ad locus planos et solidos isagoge, en 1636, texte publié après sa mort.

Dans les notations de Descartes, contrairement à Fermat, les constantes sont continuellement notées a, b, c, d, … et les variables x, y, z. Il s’oppose en cela à la tradition de l’époque et un lecteur d’aujourd’hui s’en trouve moins dérouté…

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